Les cycles de Collatz : deux tours, quatre ports Collatz cycles: two towers, four harbours

1. Une boucle cachée 1. A hidden loop

Le jeu de Collatz (pair → ÷2, impair → ×3+1) semble toujours redescendre vers 1. Pour le prouver, il faut écarter deux fantômes : qu'un nombre parte à l'infini, et qu'un nombre tourne en rond dans une boucle qui ne contient pas 1. Cette page parle du second — les cycles. The Collatz game (even → ÷2, odd → ×3+1) always seems to fall back to 1. To prove it, you must banish two ghosts: a number running off to infinity, and a number going round forever in a loop that never contains 1. This page is about the second — the cycles.

On croit qu'il n'existe qu'une seule boucle : 1 → 4 → 2 → 1. Mais personne ne sait le démontrer pour l'infinité des boucles imaginables. Pourquoi est-ce si dur ? La réponse tient dans une image très simple. We believe there is only one loop: 1 → 4 → 2 → 1. But nobody can prove it for the infinity of conceivable loops. Why is it so hard? The answer lives in one very simple picture.

2. Deux tours qui se frôlent 2. Two towers that graze

Imaginez deux tours. L'une monte en doublant (2, 4, 8, 16…), l'autre en triplant (3, 9, 27, 81…). Fait élémentaire : un étage de l'une n'est jamais exactement à la hauteur d'un étage de l'autre — une puissance de 2 est paire, une puissance de 3 est impaire. Picture two towers. One climbs by doubling (2, 4, 8, 16…), the other by tripling (3, 9, 27, 81…). Elementary fact: a floor of one is never exactly level with a floor of the other — a power of 2 is even, a power of 3 is odd.

Un cycle de Collatz, c'est exactement ça : un frôlement si parfait entre une puissance de 2 et une puissance de 3 qu'un petit ajustement (le « +1 ») referme la boucle. Le « presque » de 8/9 ne suffit pas ; celui de 256/243 non plus. Il en faudrait un infiniment meilleur. A Collatz cycle is precisely that: a graze so perfect between a power of 2 and a power of 3 that a small adjustment (the "+1") snaps the loop shut. The 8/9 graze isn't good enough; nor is 256/243. You would need an infinitely better one.

3. Quatre ports, deux rives 3. Four harbours, two shores

Voici le retournement. Ce frôlement parfait a déjà eu lieu — quatre fois. Collatz possède réellement quatre boucles, et chacune est accrochée à un frôlement des deux tours. Trois vivent du côté des nombres négatifs (le monde miroir « ×3−1 »), une seule du côté positif : la nôtre, 1. Here is the twist. That perfect graze has already happened — four times. Collatz really does have four loops, and each is anchored to a graze of the two towers. Three live on the negative side (the mirror world "×3−1"), only one on the positive side: ours, 1.

Cela a une conséquence redoutable, un vrai « test anti-fausse-preuve » : tout argument « simple » (de parité, de vitesse) qui prétendrait interdire les boucles interdirait aussi ces quatre-là… qui existent. Il prouverait trop ; il est donc faux. La vraie conjecture n'est pas « pas de boucle » : c'est « le côté positif n'aura plus jamais le coup de chance ». This has a fearsome consequence, a genuine "crank-proof detector": any "simple" argument (parity, speed) claiming to forbid loops would also forbid those four… which exist. It would prove too much, so it is wrong. The real conjecture isn't "no loops": it is "the positive side never gets the lucky break again".

4. Le cadeau de Gersonides (1342) 4. Gersonides' gift (1342)

Pourquoi trois boucles « faciles » ? Parce qu'il existe des serrures gratuites : quand l'écart entre la puissance de 2 et la puissance de 3 vaut exactement 1, il ouvre tout. Combien y en a-t-il ? La réponse est vieille de près de 700 ans. Why three "easy" loops? Because some locks are free: when the gap between the power of 2 and the power of 3 is exactly 1, it opens everything. How many such gaps exist? The answer is nearly 700 years old.

En 1342, le savant provençal Levi ben Gershom (Gersonides), à la demande du compositeur Philippe de Vitry, démontre dans De numeris harmonicis que les seules puissances de 2 et de 3 qui diffèrent de 1 sont 2 et 3, 3 et 4, 8 et 9. Trois, et pas une de plus — jamais. La serrure gratuite est littéralement médiévale. In 1342, the Provençal scholar Levi ben Gershom (Gersonides), at the request of the composer Philippe de Vitry, proved in De numeris harmonicis that the only powers of 2 and 3 differing by 1 are 2 and 3, 3 and 4, 8 and 9. Three, and never one more. The free lock is literally fourteenth-century.

Le hasard a distribué ces trois tickets : un au nord (4−3 → la boucle 1), deux au sud (2−3 → −1, et 9−8 → −5). Épuisés depuis le XIV^e siècle. Après eux, plus aucune boucle ne peut s'ouvrir « gratuitement » — il faut une coïncidence arithmétique complète. C'est exactement ce qui rend la suite si dure. Chance dealt those three tickets: one north (4−3 → the loop 1), two south (2−3 → −1, and 9−8 → −5). Spent since the fourteenth century. After them, no loop can open "for free" — it needs a complete arithmetic coincidence. That is exactly what makes the rest so hard.

(Ce lien avec Gersonides nous a été rappelé par notre collaborateur Benjamin Macindoe ; il évite d'invoquer le lourd théorème de Catalan–Mihailescu, et c'est une bien plus belle histoire.) (This Gersonides connection was pointed out by our collaborator Benjamin Macindoe; it avoids invoking the heavy Catalan–Mihailescu theorem, and it is a far better story.)

5. Le dé de Benford 5. Benford's dice

Une petite énigme rencontrée en chemin : à chaque étage, quel côté frôle le mieux, le nord ou le sud ? Notre première réponse machine disait « 50/50 ». C'était juste… pour une certaine façon de mesurer la distance. Pour la distance qui compte vraiment pour les boucles, le sud gagne dans 58,5 % des cas — exactement la loi de Benford (celle qui fait que les nombres commencent plus souvent par 1 que par 9). A small puzzle met along the way: at each floor, which side grazes better, north or south? Our first machine answer said "50/50". It was right… for one way of measuring distance. For the distance that actually matters to loops, the south wins 58.5 % of the time — exactly Benford's law (the one that makes numbers start with 1 more often than 9).

Les deux réponses sont vraies, à deux questions différentes — et c'est notre collaborateur qui a tranché laquelle compte. C'est ça, la vérification à deux clés : chacun corrige l'autre, par générosité. Both answers are true, to two different questions — and it was our collaborator who adjudicated which one counts. That is two-key verification: each corrects the other, out of generosity.

6. Le mur 6. The wall

Au fond, exclure les boucles revient à savoir si les chiffres binaires (base 2) et ternaires (base 3) d'un même nombre peuvent « conspirer » parfaitement. C'est une question ouverte de toute la théorie des nombres — le fossé ×2×3 de Furstenberg. Personne ne sait la franchir. Ultimately, ruling out loops comes down to whether the binary (base 2) and ternary (base 3) digits of one number can perfectly "conspire". That is an open question across all of number theory — Furstenberg's ×2×3 gap. Nobody knows how to cross it.

Ce qu'on peut faire, honnêtement, ce n'est pas franchir le mur : c'est en dessiner la carte exacte, nommer sa forme, et bâtir un échafaudage conditionnel vérifié par la machine (voir la preuve et le résumé pour tous). Le vrai apport n'est pas une borne ; c'est la méthode et la forme de l'obstruction. What one can honestly do is not to cross the wall: it is to draw its exact map, name its shape, and build a machine-checked conditional scaffold (see the proof and the plain-language summary). The real contribution isn't a bound; it's the method and the shape of the obstruction.

7. Deux voix, une carte 7. Two voices, one map

Tout ce que raconte cette page a été vérifié des deux côtés, indépendamment — un noyau formel Lean 4 d'un côté, du code Python de l'autre, aucun copié sur l'autre. Pour aller plus loin : Everything on this page has been verified on both sides, independently — a formal Lean 4 kernel on one side, Python code on the other, neither derived from the other. To go further:

• Le gateway interactif de Benjamin MacindoeBenjamin Macindoe's interactive gateway — manipulez les frôlements, les boucles et Benford en direct (arithmétique exacte).operate the near-misses, the loops and Benford live (exact arithmetic).
• Son preprint : « Reduced coordinates for the Collatz map » (v2, DOI 10.5281/zenodo.21421120) — et son papier miroir. His preprint: "Reduced coordinates for the Collatz map" (v2, DOI 10.5281/zenodo.21421120) — and his mirror paper.
• Nos papiersOur papers — le théorème conditionnel formalisé en Lean 4 et ses obstructions structurelles.the conditional theorem formalized in Lean 4 and its structural obstructions.

Une note sincère. Ce travail ne cherche ni la gloire ni la paternité ; il est fait pour tout le monde. Les noms sur les découvertes ne sont là que pour la traçabilité honnête — savoir quelle brique vérifier, et sur laquelle bâtir. A sincere note. This work seeks neither glory nor authorship; it is done for everyone. The names on the findings are there only for honest traceability — knowing which brick to check, and which to build on.