Conjecture de Syracuse

Syracuse Conjecture (a.k.a. Collatz)

La Conjecture de Syracuse est le nom utilisé en France pour ce que le monde anglo-saxon appelle la Conjecture de Collatz. C'est exactement le même problème, et plusieurs autres noms historiques coexistent. The Syracuse problem is the dominant French name for what English-speaking mathematicians call the Collatz conjecture. It is exactly the same problem, and several other historical names coexist.

§ I — Définition unifiée

§ I — Unified definition

Une seule fonction, plusieurs noms

One function, many names

Toutes ces appellations désignent la même fonction T : ℕ → ℕ définie par : All of these names denote the same function T : ℕ → ℕ defined as:

$$ T(n) = \begin{cases} n/2 & \text{si } n \text{ pair} \\ 3n+1 & \text{si } n \text{ impair} \end{cases} $$

La conjecture affirme que pour tout entier n ≥ 1, la suite des itérés T(n), T(T(n)), … atteint toujours 1. Aucun cycle non-trivial n'a jamais été découvert au-delà du cycle 1 → 4 → 2 → 1, et aucune trajectoire divergente n'a été observée. The conjecture states that for every integer n ≥ 1, the sequence of iterates T(n), T(T(n)), … eventually reaches 1. No non-trivial cycle has ever been discovered beyond 1 → 4 → 2 → 1, and no divergent trajectory has been observed.

§ II — Catalogue des noms

§ II — Names catalog

Tous les noms du même problème

All names of the same problem

Wikipedia EN^[1] et Wikipedia FR^[2] recensent les appellations suivantes : Wikipedia EN^[1] and Wikipedia FR^[2] list the following names:

Nom	Name	Origine
Collatz conjecture	Lothar Collatz, mathématicien allemand, 1937 (deux ans après sa thèse)Lothar Collatz, German mathematician, 1937 (two years after his PhD)	Dominant dans le monde anglo-saxon et en publication scientifiqueDominant in English-speaking world and academic publishing
Conjecture de Syracuse / Syracuse problem	Université de Syracuse (États-Unis), où Helmut Hasse a popularisé le problème dans les années 1950Syracuse University (USA), where Helmut Hasse popularized the problem in the 1950s	Dominant en France et dans la francophonie scolaireDominant in France and in French-speaking academic curriculum
Problème 3n+1 / 3x+1 problem	Description littérale de l'opération sur les entiers impairsLiteral description of the operation on odd integers	Universel, neutre, sans attribution historique. Lagarias 1985^[3] l'a popularisé.Universal, neutral, no historical attribution. Lagarias 1985^[3] popularized it.
Kakutani's problem	Shizuo Kakutani, mathématicien japonais, qui l'aurait répandu dans les universités américaines vers 1960Shizuo Kakutani, Japanese mathematician, said to have spread it in US universities ca. 1960	Rare, anglosaxonne, ancienneRare, English-speaking, dated
Hasse's algorithm	Helmut Hasse, mathématicien allemand qui a étudié le problème indépendammentHelmut Hasse, German mathematician who studied the problem independently	Très rareVery rare
Ulam conjecture	Stanisław Ulam, mathématicien polono-américain qui a évoqué le problèmeStanisław Ulam, Polish-American mathematician who mentioned the problem	Rare, anglosaxonne ; à ne pas confondre avec la conjecture d'Ulam (théorie des nombres) ou la spirale d'Ulam.Rare, English-speaking; not to be confused with Ulam's conjecture (number theory) or the Ulam spiral.
Thwaites conjecture	Bryan Thwaites, mathématicien britannique qui a redécouvert et popularisé le problème, offrant £1000 pour une preuve en 1996Bryan Thwaites, British mathematician who rediscovered and popularized the problem, offering £1000 for a proof in 1996	Très rare, britanniqueVery rare, British
Hailstone sequence / Hailstone numbers	Métaphore : les nombres montent et descendent comme des grêlons dans un nuageMetaphor: the numbers go up and down like hailstones in a cloud	Anglo-saxon, vulgarisationEnglish-speaking, popularization
Wondrous numbers	Vulgarisation par Douglas Hofstadter dans Gödel, Escher, Bach (1979)Popularization by Douglas Hofstadter in Gödel, Escher, Bach (1979)	Rare, vulgarisationRare, popular science

Quelle terminologie ce site utilise-t-il ? Le site et le paper Lean 4 utilisent Collatz (terminologie de publication scientifique). Le présent site est aussi indexé sur Syracuse pour faciliter la découverte par le public francophone. Which terminology does this site use? The site and Lean 4 paper use Collatz (the academic publication standard). The site is also indexed on Syracuse to facilitate discovery by French-speaking visitors.

§ III — Pourquoi "Syracuse" en France ?

§ III — Why "Syracuse" in France?

Une histoire de transmission orale

A story of oral transmission

L'origine du nom Syracuse en France est traditionnellement attribuée à l'Université de Syracuse (Syracuse University, dans l'État de New York aux États-Unis), où le problème aurait été présenté par Helmut Hasse lors d'une visite dans les années 1950, selon la note historique référencée par Wikipédia^[2]. La diffusion s'est ensuite faite dans la communauté mathématique française par transmission orale, le nom collant au problème par contiguïté avec le lieu de la présentation, plutôt qu'avec un mathématicien. The origin of the name Syracuse in France is traditionally attributed to Syracuse University (Syracuse, New York, USA), where the problem was reportedly presented by Helmut Hasse during a visit in the 1950s, according to the historical note referenced by Wikipedia^[2]. It then propagated in the French mathematical community by oral transmission, the name attaching to the problem by association with the venue of the presentation, rather than with a specific mathematician.

Note : cette attribution est traditionnelle mais pas formellement documentée par une source primaire archivable. Le statut épistémique est partial selon notre méthodologie ARES — nous indiquons la source secondaire (Wikipédia) comme référence, sans pouvoir pointer un courrier ou une publication originelle. Note: this attribution is traditional but not formally documented by an archivable primary source. The epistemic status is partial per our ARES methodology — we cite the secondary source (Wikipedia) without being able to point to an original letter or publication.

§ IV — Liens internes

§ IV — Internal links

Approfondir sur ce site

Dig deeper on this site

→ Accueil : vue d'ensemble du projet, théorème principal kernel-checked. project overview, main kernel-checked theorem.
→ Architecture de la preuve : chaîne de preuve Lean 4, sous-branches k≤1322 et k>1322. Lean 4 proof chain, sub-branches k≤1322 and k>1322.
→ Catalogue Lean : 7 théorèmes centraux + auxiliaires + arsenal R34-R96. 7 central theorems + auxiliaries + R34-R96 arsenal.
→ Papers : paper soumis JAR Springer (28 pages). paper submitted JAR Springer (28 pages).
→ Research Ledger : registre transparent de tous les développements, audits, mea culpa. transparent registry of all developments, audits, mea culpa.
→ Λ explorer interactif : visualisation du verrou diophantien Λ_{S,k} = S log 2 - k log 3. interactive visualization of the Diophantine lock Λ_{S,k} = S log 2 - k log 3.

§ V — Sources et références

§ V — Sources and references

Citations

Wikipedia EN — Collatz conjecture (consulted 2026-04-30). Lead paragraph enumerates alternative names: 3n+1 problem, 3n+1 conjecture, Ulam conjecture, Kakutani's problem, Thwaites conjecture, Hasse's algorithm, Syracuse problem. https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
Wikipédia FR — Conjecture de Syracuse (consultée 2026-04-30). Section « Origine du nom » documente l'attribution à Helmut Hasse / Syracuse University. https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse
Lagarias, Jeffrey C. (1985). "The 3x+1 Problem and its Generalizations". The American Mathematical Monthly, 92(1), 3-23. JSTOR 2322189. Reference survey establishing terminology "3x+1 problem".
Tao, Terence (2019). "Almost all Collatz orbits attain almost bounded values". arXiv:1909.03562. Recent major progress (almost-all density result).
Barina, David (2025). Convergence verification for n < 2⁷¹. Largest computational verification to date (referenced as BarinaVerification axiom in our Lean 4 formalization).

Méthodologie ARES : tous les claims historiques de cette page reposent sur des sources secondaires (Wikipedia EN/FR) ou primaires (Lagarias, Tao). Statut épistémique des attributions Hasse → Syracuse University : partial (transmission orale traditionnelle, pas de source primaire archivée). Aucune autre claim n'est inventée. ARES methodology: all historical claims on this page are based on secondary sources (Wikipedia EN/FR) or primary sources (Lagarias, Tao). Epistemic status of Hasse → Syracuse University attribution: partial (traditional oral transmission, no archived primary source). No other claim is fabricated.